DTCWT Lowpass Shape
双树复小波变换 (Dual-Tree Complex Wavelet Transform, DTCWT) 低频系数矩阵的尺寸一致很让人困惑，许多文献都重点讨论了高频部分（6 个方向），而对低频部分的介绍较少。对一个单通道，大小为 (N, N) 的二维图像做一次 2D DTCWT 变换，高频部分应该有 6 个，尺寸均为 (N/2, N/2) 其中每个都是复数。那么低频部分呢？
不同的尺寸
对低频部分的描述至少有三种说法：
- 2 个低频图像，大小和 6 个高频图像一致为 (N/2, N/2)
- 4 个低频图像，大小为 (N/2, N/2)
- 1 个高频图像，大小为高频图像的两倍。如果只做一次 DTCWT，则为 (N, N) 。做两次，则为 (N/2, N/2)
2 个低频图像
在论文 SAR Image segmentation based on convolutional-wavelet neural network and markov random field 中，作者使用了 DTCWT 作为 pooling layer。作者表示一次分解应产生 8 个成分，分别为 2 个低频和 6 个高频：
4 个低频图像
纽约大学的 Ivan Selesnick 教授开源了 DTCWT 的 MATLAB 实现，且有详细的讲解。其低频部分有 4 组值：
1 | % OUTPUT: |
但是注释中并没有说明 m，n 的含义。如果类比高频部分，分别代表实部、虚部的话，倒是和 2 个低频图像的说法对应上了，即 2 个复数的低频和 6 个复数高频。但是可能并不能简单地这样理解。
1 个低频图像
1 个低频图像，尺寸为高频的 2 倍的说法其实是出现频率最高的，至少有三处来源：
- Python 的一个 DTCWT 工具包：https://pypi.org/project/dtcwt/
- 剑桥大学的一篇博士毕业论文中开源了另一个 DTCWT 的 PyTorch 实现：https://pytorch-wavelets.readthedocs.io/en/latest/dtcwt.html
- MATLAB 官方的 Wavelet ToolBox：https://www.mathworks.com/help/wavelet/ref/dualtree2.html
因此倾向于这种说法更加可信。
低频图像的来源
DTCWT 只有一个低频图像，且尺寸是高频图像的 2 倍 —— 做一次变换，低频图像的大小和原图一致；做两次变换，低频图像才缩小到 1/2，听起来比较反直觉。那么这个低频图像是怎么出来的呢？
在剑桥博士毕业论文中，作者给出了 DTCWT 的算法说明：
可以惊喜地看到，最终的一个低频图像是由四个低频分量构造出来的，即 yl = interleave(…) 。这样就不和纽约大学的代码矛盾了。遗憾的是作者并没有详细描述 interleave 函数的含义。但是根据字面意思理解，应该是指从 4 个低频分量中各取一个点，拼接成一张大图。这样大图的长、宽就正好是小图的两倍。
翻阅其代码，作者的实现和论文中的描述并不一致。虽然没有做交叉插值的步骤，但是其中有这样一个函数：
1 | # def q2c(y, dim=-1): |
这里的输入和低频的尺寸是一样的，然后四个值分别拆开（再通过加减运算）构成了 2 个复数高频：
这和论文中描述的算法是逆操作，所以应当是等价的。